错误是粗心所致吗
时间：2016-10-20 来源：网络整理 作者：佚名
时常听到这样的议论，某某学生太粗心了，这不，这道题又做错了。当然，有时候，确实是学生比较粗心。学生的注意力不能够长时间集中于一个问题，思考问题时间长了，就会出现注意力弥散的现象，从而导致错误。但是，很多时候，却并非如此，下面的调查就很好地说明了这个问题。
一、一项调查：错误相同，原因各异
为了解学生对小数乘法的理解情况，我们设计了问卷，在山东省刺庄市2所城市小学的147名学生中进行了调查（这2所小学在当地同类学校教学质量综合评估中排在第2、3位），其中包括以下题目：
先写算式，再计算：
A：小明有7.5千克苹果，小华的苹果是小明的３２％，小明有多少千克苹果？
B：20的是多少？
C：0.0906的８％是多少？
对于以上3个题目，正确的答案是不言而喻的，即应该用小数乘法。然而，调查结果显示，有15.2%的学生用的是除法，即给出的答案是7.5÷0.32，20÷0.1，0.0906÷0.08。虽然用的都是除法，但是，在访谈中我们发现，学生选择除法的理由千差万别，揭示出导致同样错误的形形色色的原因，也显示出学生在理解小数乘法时所出现的各种各样的错误。（I—访谈者；S—学生。）
（1）没有“倍”字。比如，学生S1给A题提供的答案是7.5÷0.32。
I：你当时是怎样想的？乘可以吗？
S1：不可以，因为乘是多少“倍”。
同样地，他把“0.0906的８％是多少”表征为0.0906÷0.08。该生总是通过找关键字来确定用什么运算。当找不到“倍”字的时候，就只好用除法了。
（2）因为“的”字。比如，学生S2给B题提供的答案是20÷0.1。
S2：因为一个“的”字改变了整个式子，如果用乘应该说“20里面有几个”。
S2：就是0.5的0.4倍。
I：如何列算式？
S2：0.5×0.4。我一般是看“的”、“倍”。
学生通过“的”、“倍”等关键字来解决问题，而不去理解乘除法的意义。我们也看到数的大小与类型对学生选择运算的影响。
（3）越除越小。比如，学生S3给C题提供的答案是0.0906÷0.08。
I：说一说你这样做的理由是什么？
S3：８％是0.08。
I：为什么是除以？
S3因为求0.0906的８％是多少，所以用除以。
I：用乘法可以吗？
S3不可以。越乘就越多了，所以用除。越除就越少了。８％不就少了吗？某某的８％，不是倍数，是倍数就乘了。
既然是求0.0906的８％，所得到的结果一定要比0.0906小。而整数运算的经验告诉我们“越乘越大，越除越小”，所以要用除法；再者，这道题里根本没有出现“倍”字，这就从相反的方面说明，如果使用乘法就是错误的。两者合起来，就可以比较放心地得到一个结论，要用除法。学生既使用了关键字的办法，又使用了整数运算中的规律，而唯独没有理解小数乘法的意义。
（5）肢解分数的意义：因为要“平均分”。比如学生S5给B题提供的答案是20÷0.1。
I：为什么是除法？
I：能解释得更清楚一些吗？
S5：不是要平均分成10份吗，所以用除法。
学生的根据是“平均分”。在她看来，“平均分，就用除法”。当然，平均分的情况下是用除法，而本题是“将20平均分成10份，然后取这10份中的1份”。也就是说，平均分结束后，并没有完，还要从中“取相应的份数”。学生肢解了分数的意义，只关注平均分，没有关注取多少份。
对分数意义的另一种肢解方法是，不关心平均分，只关心取多少份。比如，学生S7给A题提供的答案是7.5-0.32。
S6：7.5的32%，就是把7.5平均分成100份，从中取32份。取走32份，当然是减了。
从以上分析可以发现，导致学生错误的原因有二：一是学生对分数的概念理解很差；二是整数除法运算、减法运算的迁移作用。
（6）根据老师讲的，却记错了小数乘法的意义。比如，学生S7给C题提供的答案是0.0906÷0.08。
I：解释一下你是怎样做的？
S7：老师说了，一个数除以小数的意思是求这个数的几分之几是多少？
I：你是根据老师讲的来做的？
S7：是的。……看来我错了。我记错了，应该是一个数乘小数是求这个数的几分之几是多少，应该用乘法。
I：为什么是乘法？
S7：老师讲的用乘法。我刚才记错了。
根据老师讲的来做，而并没有变成自己的知识，死记意义、法则。但是，对于差一点的学生而言，如果能够记住意义、法则等，就还有机会检查出自己的错误。否则，发现错误的机会都没有。
（7）没有理由。此如学生S8给C题提供的答案是0.0906÷0.08。
S8：8%是0.08，求0.0906的8%就是用0.0906除以0.08。
I：还有其他的理由吗？
S8：没有了。
I：你能说一说一个数乘小数的意义吗？
S8：不会。意义啦、法则啦，我从来不记的。
学生不记忆法则、也不记忆意义。在她看来，只要跟着感觉走就可以了，不需要什么根据，也无须什么理由。这样导致的结果是“错了就是错了”，而不知道为什么就错了。
（8）其他的原因：别人不借橡皮。比如，学生S9给C题提供的答案是0.0906÷0.08。
S9：我又错了。应该是0.0906×0.08。
I：为什么又变成乘法了？
S9：当时我发现了错误，想借同桌的橡皮用一用。同桌让我用除法，否则再也不给橡皮用了，我只好用（除法）了。
这真是一个破天荒的理由。若非亲耳所听，亲眼所见，真不敢相信，这是别人让选的，否则将给以惩罚。
二、两点启示：关注错误背后的原因，促进学生的理解
1.关注错误背后的原因，不能一个“粗心”了得
“错误的回答通常不是粗心所致，也不是教师没有教过这方面的知识，或者缺乏对问题的思考。错误的回答常常有着理论的支撑。如果你想让学生修正并优化他们已知的，了解学生的理解就非常重要了”。以上访谈表明，学生常常根据一些关键字，比如：“的”、“倍”、“和”、“一共”、“平均分”、“取”、“用”、“里面的”，来确定选择什么运算。这种办法被称为“直译策略”：在问题中搜寻数量和关键字，然后据此设计解决方案。学生也经常使用整数运算中所获得的规律，比如，“越乘越大”、“越除越小”，来寻求使用某种运算的合理性。调查表明，学生在叙述小数乘法的意义时，最常见的错误就是用整数乘法的意义，比如用“相同加数和的简便运算”来表述小数乘法的意义，而不顾乘法的意义已经扩展的事实。所有这些表明，整数运算知识对小数的学习影响有多大，整数知识对学习的负迁移作用有多大。当学生不理解小数乘法的意义时，就只能从已经知道的整数知识中寻求帮助了，直接寻求帮助的结果是，寻求表面上相似的东西，而忽略结构上、本质上的差异，而最终导致错误的理解。我们在研究中发现，特别是学生使用除法的不同原因表明，在分析学生的错误时，通常我们所说的“学生马虎了，粗心了”往往是站不住脚的。这种不细心不是诸如把“23+50错误地写成了：32+50”。而是对背后的概念不理解，“这种情况往往是由于缺乏概念性理解所致”。
以上错误的出现，既可以说是整数知识的负迁移作用，也可以说是对小数乘法意义的不理解。而后者尤甚。
既如此，当学生出现了错误时，就绝对不是一个“粗心”了得，我们要分析学生错误的原因，特别是要找到学生在概念性量解方面所存在的问题，然后对症下药，通过增进学生的理解，来解决学生的粗心问题。如果事事认为是学生的粗心所致，其结果恐怕不是学生粗心，而是我们教育工作者粗心了。
2.加强分数教学，促进学生的理解
为了解学生对小数乘法意义的理解情况，我们进行了以上测试。按照Lesh等研究者的观点，所谓理解就是用现实情境、操作模型、直观图象、口头语言、书面符号来表征数学概念、并实现表征方式相互转化的能力。事实上，以上3道题目，主要测试学生将口头语言转化为书面符号的能力。在我们所进行的另一个测试中，要求学生“先计算20的是多少，然后用画直观图的方式来说明运算结果是正确的。”结果只有19.5%的学生给出了正确的表征。如果我们承认，对小学生而言“纯粹抽象的事物是难以理解的，所谓理解基本上等同于建立直观形象”，那么可以说，总体而言，学生对小数乘法意义的理解水平是比较低的。
事实上，小数乘法的意义很不好理解。小数乘法的意义，依赖于分数的意义和分数乘法的意义。如果学生对分数的意义和分数乘法的意义缺乏深刻的理解，特别地，如果学生对分数的直观表征和分数乘法的直观表征缺乏深刻的理解的话，对于小数乘法运算，就可能只是记住了或者只是会使用了法则，而对法则背后的东西比如运算的意义知之甚少。要想直观地理解小数乘法的意义（包括运算），只有学习了分数乘法后，才能获得。而分数乘法在后续的学习中才介绍，从理解的角度而言，这就把马车放到了马的前面了。既没有对分数的充分理解，又没有分数运算的知识作为基础，对小数乘法就比较难以理解了。
先于分数运算介绍小数乘法运算，就容易造成对小数乘法运算的不理解。既然不理解，那么，在特别强调“有理解地学习数学”的今天，安排小数乘法意义这部分内容的合理性就值得怀疑了。我们的建议是，从促进学生的理解出发，避免学生只是会进行小数乘法的运算，而对于其中的意义、道理没有多少理解。最起码，应该对分数的意义有了比较充分的理解后再来介绍小数乘法。也就是说，在介绍小数乘法之前，应加强对分数概念的教学；或者说，先介绍分数乘法，然后再来学习小数乘法。这即可作为对课程标准修订和教材编写的建议。
（选自《当代教育科学》）
