数学原型的含义与教学价值：三角形的认识教学反思

时间：2016-10-21 来源：网络整理作者：佚名

　　笔者曾执教《三角形的认识》一课，三角形“高”的定义和画法是本课教学的难点。按照预设的教学程序，在学生自学了高的概念和画法、并对画高方法进行了重点指导后，笔者让学生质疑提问。有一位学生指着黑板上AB边上的高(图1)说：“这其实不是三角形的高，为什么它也是高呢?”不少学生也露出了与他同样疑惑的表情。

　　什么“不是高”、“也是高”，他们到底在说什么、想什么?笔者不由得愣了一下，联想到日常生活中高的含义——例如，我们见到一高一矮两个人，所谓的高矮，就是指在同一水平面上站立着的两个人，从头顶到脚底间距离的大小，也即两人在竖直方向上的跨度——“水平为底、竖直为高”是生活中关于高的基本观念，诸如此类的生活情境和隐含其中的观念就构成了学生头脑中高的生活原型。笔者由此推测：在课堂学习中，学生通过自学课本接受了三角形高的概念，以此指导画高的方法，画出的高中有与生活原型一致的，如cB边上的高，也有不一致的，如AB边上的高。学生往往认为与生活原型一致的才是真正的高，不一致的“其实不是三角形的高”，并进而对定义的合理性产生了“为什么它也是高呢”的质疑。在引导学生对质疑的进一步理解中，笔者的推测很快得到了证实。那么，能否通过让学生经历从生活原型到数学模型(高的概念)的过程，建立两者之间的联系，使生活原型促进概念学习呢?基于这个想法，笔者调整了教学，下面是这个片断的实录： ’
　　笔者从学生手中拿过两个锐角三角形，按图2所示放在桌面上。
　　师：让我们来比较一下，这两个三角形哪个比较高?
　　【说明：笔者将“两个人比高矮”之类的情境置换成两个三角形比高矮，既保留了生活原型中“水平为底、竖直为高”这一关键特征，又满足了三角形高的教学这一要求。】
　　生：左边的三角形。
　　师：你是怎么看出来的?
　　生：左边的三角形从顶点到桌面的距离比右边的大。
　　师：是吗?(学生表示赞同)
　　师：能在三角形上找出一条线来表示这一高度吗?
　　通过师生共同研讨、演示(将三角板一条直角边紧贴桌面，并与三角形重叠竖立在桌面上，移动三角板，使另一直角边过三角形顶点，画垂线)，学生认识到表示高度的线就是从三角形的顶点到对边(桌面)的一条垂直线段。
　　【说明：这一环节是将生活原型中隐含的“水平为底、竖直为高”观念显性化，并将底和高的水平与竖直位置关系转述为“互相垂直”，为三角形高的概念的进一步抽象铺好台阶。】　　师：想一想，如果把这个三角形翻动一下，使这条边(oQ)紧贴桌面放置，哪个三角形会比较高呢?
　　师生再次研讨、演示，利用竖立在桌面上的三角板画三角形的高。学生认识到三角形的高度与底边有关——同一个三角形，用不同的边作底，高度就可能不一样，突出了底与高之间的对应关系。
　　然后，笔者请同桌两位同学用自己的两个锐角三角形比高矮，画高。通过这一练习，学生都掌握了利用“水平(桌面)为底、竖直为高”的原型画高、检验、矫正的方法，有些学生已经能将三角形平放桌面上直接在上面画出正确的高。
　　师：想一想，如果把这条边(EF)紧贴桌面放置，哪个三角形比较高?不转动三角形，能把高画出来吗?
　　生：直接从顶点(G)向边(EF)作垂线。
　　师生共同画高。
　　师小结：所以，数学中把从三角形一个顶点向对边所作的垂直线段叫做这个三角形的高，这条对边叫做底边。
　　【说明：这是概念形成的关键一步。通过“不转动三角形。
　　能把高画出来吗?”促使学生从“．水平方向的底、竖直方向的高”这一生活原型中，抽取“垂直”这一本质特征，在“非水平方向的底”上作出“非竖直方向的高”，从而，使学生对高的认识产生了由生活原型到数学概念的飞跃。】
　　本文所谓的生活原型是相对于数学模型而言的，我们把数学的概念、原理、方法和理论体系都称为数学模型，把模型所源于其中的原始数学事实和现实材料称为这一模型的原型。教例中，学生充分经历了从生活原型到数学模型的知识创造过程，成功消除了生活原型对概念学习的干扰，．深化了概念理解，为学生画高提供了原型的支撑，使学习有困难的学生也易于获得成功。同时，也便于学生认识到数学模型源于原型、又高于原型这一特点。
　　基于原型的教学突出反映了数学本身产生与发展的动力特征，强调从数学自身发生发展的角度思考情境的创设——以原型为核心的情境创设。笔者以为，在数学教学中创设情境的主要目的有两个：(1)激发学习热情，使情境的挑战性、趣味性或应用性成为学习的持续动力；(2)促进数学理解，使情境本身的信息为数学问题的解决、模型的建立提供结构性支持。基于原型的教学适合数学的基本概念、原理和方法的教学，不适合技能操练的教学，对于技能操练的教学来说，创设情境一般需要达到第一个目的。对于基本概念、原理和方法的教学来说，创设情境通常需要同时关注上述两个目的，其中第二个目的显得尤为重要，这事实上也是创设情境中的一个难点。基于原型的教学赋予情境创设以更加丰富和深刻的内涵，主要表现在原型的典型性和长效性上。
　　所谓的典型性有三方面的含义，即问题的典型性、经验的典型性和结构的典型性，具体是指：相对于数学模型而言，原型是典型的数学问题，问题的解决将直接导致模型的建立；从学生已有的知识经验来看，原型是有丰富的相关活动经验作支撑的数学事实或现实材料，便于学生能自然地从头脑中产生数学问题，比较顺利地完成从原型到模型的认识过程，沟通经验世界与数学世界的联系；结构的典型性是指原型为模型的建立提供了结构性支持，这种结构性支持来自于构成两者的各要素之间存在的一一对应关系。如上例中，三角形高的生活原型与数学模型之间就存在一一对应关系。
　　所谓的长效性，是指原型提供了对数学模型的反复认识、深化理解的机会，并使之具有潜在的可迁移性。在上面的教例中，深刻理解高的概念，需要进一步全面考察锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中高的各种表现形式。当学生的认识遇到困难(尤其在认识钝角三角形外高)时，可以利用高的原型(如将求作高的底边转到水平位置)在变化的情境中认识高的意义和画法，这种不断穿梭于原型和模型之间的学习，不仅能帮助学生形成对当前知识的深刻理解，并将有效地促进后续直柱体的高等邻近和相关知识的学习。即使从最坏的情况看——学生忘记了高的意义和画法，只要还有原型存留脑中，还有从原型到模型——这种对数学发生发展规律的认识和学习方法存留脑中，就有可能借助原型重新发现这些遗忘的知识。
　　总之，从原型到模型的学习，正是数学的原创过程在教学中的体现，这不仅有利于学生体会数学，也是一种人类文化，也有利于逐步培养学生的创新精神和实践能力。

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